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欧氏几何公理

发布日期:2021-12-05 08:22   来源:未知   阅读:

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  欧氏几何公理是欧几里得建立的几个几何公理,也称欧式几何,它的建立,采用了分析与综合的方法,不止是单独一个命题的前提与结论之间的连结,而是所有几何命题的连结成逻辑网路。

  古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作,也是欧几里德最有价值的一部著作。在《原本》里,欧几里德系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识,欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理,以形式逻辑的方法,用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质,从而建立了一套从公理、定义出发,论证命题得到定理得几何学论证方法,形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书,也就成了欧式几何的奠基之作。

  两千多年来,《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼伽利略笛卡尔牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》,从中吸取了丰富的营养,从而作出了许多伟大的成就。

  5.两直线被第三条直线所截,如果同侧两内角和小于两个直角, 则两直线则会在该侧相交。

  上述前三条公理是尺规作图公理,用来定直线与圆。在纸面上用尺规划出的任何直线与圆,按定义而言,都不是「真正」数学上的直线与圆。然而,欧氏似乎是说:我们可以用尺规作出近似的图形,以帮助我们想像真正的图形,再配合正确的推理就够了。

  第四条公理比较不一样,它好像是一个未证明的定理。事实上,它宣称著:直角的不变性或空间的齐性 (the homogeneity of space)。它规范了直角,为第五公理铺路。

  第五公理又叫做平行公理(the parallel axiom),因为它等价于:

  1.跟同一个量相等的两个量相等;即若 a=c 且 b=c,则 a = b(等量代换公理)。

  2.等量加等量,其和相等;即若 a=b 且 c=d,则 a+c = b+d(等量加法公理)。

  3.等量减等量,其差相等;即若 a=b 且 c=d,则 a-c = b-d(等量减法公理)。

  事实上,欧氏《几何原本》开宗明义是由23个定义出发,接著才是十条几何公理与一般公理。在23个定义中,首六个特别值得提出来讨论:

  1.点是没有部分的(A point is that which has no part.)。

  换言之,点只占有位置而没有大小,即点的长度 d=0。这是修正毕氏学派「dc」的失败而得到的。然而,在谈论线段的长度时,欧氏直接诉诸常识,根本不用这个定义,避开了「由没有长度的点累积成有长度的线段」之困局。许多人抱怨「点是没有部分的」这句话难於理解,这是因为对毕氏学派的研究纲领缺乏了解的缘故。

  2.线段只有长度而没有宽度(A line is breadless length.)。

  3.线的极端是点(The extremities of a line are points.)

  4.直线是其组成点,均匀地直放著的线 (A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.)

  5.面只有长度与宽度(A suface is that which has length and breath only.)

  6.面的极端是线(The extremities of a surface are lines.)。

  4~6这三个定义表示,面是由线所组成的,没有厚度。因此,面只有面积,而没有体积。

  利用23个定义、10条几何公理於一般公理,我们就可以推导出:等腰三角形的正逆定理,三角形三内角和定理。进一步还可以推导出泰利斯 (Thales) 基本定理,用同一种正多边形铺地板只有三种样式,正多面体恰好有五种。事实上,这10条公理就是欧式几何的总源头,已经可以推导出整个欧式几何了。

  总之,欧式吸取毕氏学派失败的经验,重新「分析」与「整理」既有的几何知识,另辟路径,改几何本身来建立几何(不用毕式经验式的原子论,即使优多诸斯已补全了毕氏学派的漏洞)并且采用公理化的手法,逐本探源,最后终於找到五条几何公理与五条一般公理是欧氏的创造与发现过程。接著是「综合」,利用10条公理配合优多诸斯检定法则、反证法(归谬法)与尺规作图,推导出所有的几何定理,这是逻辑的证明过程。

  因此,欧氏几何的建立,采用了分析与综合的方法。这不止是单独一个命题的前提与结论之间的连结,而是所有几何命题的连结成逻辑网路,即整个几何领域的全面之分析与综合。

  欧氏视10条公理为「显明」的真理,从而所有几何定理也都是真理。换言之,由源头输入真值 (truth values),那麼沿著逻辑网路,真值就流布於整个欧氏演绎系统。欧氏以「朝生暮死」之躯,竟然能作出永恒之事!美国女诗人米雷(E.S.V. Millay, 1892~1950)说:

  只有欧氏见过赤裸之美 (Euclid alone has looked at beauty bare.)。

  欧氏的生平不详,只知他是亚历山卓(Alexandria) 大学(世界上第一所大学)的数学教授,约纪元前300年编辑完成《几何原本》。另外,欧氏流传有两个故事,其一是,有一位学生跟欧氏学习几何,问道:「学习几何可以得到什麼利益?」欧氏立刻令仆人拿三个钱币打发这位学生走路,因为他想从追求真理中得到利益,其二是,托勒密(Ptolemy) 国王觉得几何很难,於是问欧氏:「学习几何有没有皇家大道(即捷径)?」欧氏回答说:「通往几何并没有皇家大道。」(There is no royal road to geometry.)

  古希腊人对於经验几何知识的锤练,首由泰利斯发端,接著是毕氏学派提出「直观性常识的几何原子论」,假设点的长度大於0,从而任何两线段皆可共度。由此尝试给几何建立基础:后来,终因不可共度线段的发现而破产。这让古希腊哲学家坚决地走向「知识必须再经过逻辑论证」的道路。数学史家 Szabo(详见参考资料3)因而主张:不可共度线段的发现,是促使希腊几何走上演绎形式的关键,其中归谬法扮演著催生的作用,终於导致欧氏几何的诞生。

  (ii)为了堵住怀疑派 (Sceptics) 与诡辩派 (Sophists) 哲学家之口,因为他们利用「无穷回溯法」(the infinite regress method)而论证说:「为何知道甲?因为乙;为何知道乙?因为丙;……没完没了,所以我们无法知道甲。」结论是:「我们一无所知,或至少我们无法确定我们知道什麼」。面对这样的挑战,最好的回应方式是去建立让人信服的知识殿堂,欧氏办到了。

  (iii)为了安置柏拉图的五种正多面体,正多面体是柏拉图的宇宙论之基石。《几何原本》的最后一册(即第13册)就是以建构这五种正多面体、研究它们的性质为主。欧氏以它们作为总结。

  (iv)为了体现柏拉图与亚里斯多德对科学与数学的看法,因为欧氏是柏拉图学派的人。他为真理而真理,用几何展示逻辑推理的威力,由第一原理(公理)导出所有几何知识。

  总而言之,古希腊哲学家对於存有之谜 (the enigma of being)、流变之谜 (the enigma of becoming) 以及知识之谜感到十分惊奇,一心要找到「构成物质世界的要素」、澄清变化与运动现象、追问什麼是真理。对这三个万古常新的论题,经过长期而热烈的讨论、争辨,提出各式各样针锋相对的理论与学说,产生了非常丰富的科学的、数学的、哲学的思潮,而成就了所谓的「希腊奇迹」。欧氏几何是这个奇迹中所开出的一朵不朽之花。